Nombres naturels - bases : exercices

Pour chaque énoncé, vous pouvez obtenir une indication ou la solution.

ex.1

Combien y a-t-il de nombres entiers strictement compris entre 324 et 645 ?

indication

solution

ex.2

On numérote les 287 pages d'un livre (à partir de 1). Combien a-t-on écrit de caractères ?

indication

solution

ex.3

Dans le système décimal, on considère tous les nombres de trois chiffres s'écrivant xxy, les chiffres x et y étant égaux ou différents.

Calculer la somme S de tous ces nombres.

Citer un nombre de trois chiffres par lequel cette somme est divisible.

indication

solution

ex.4

Quel est le nombre de pages d'un document dont toutes les pages sont numérotées, et dont la pagination a nécessité 4529 caractères ? Quel est le chiffre écrit en 3000^ème position ?

indication

solution

ex.5

Les nombres sont écrits en base douze (chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B). écrire le suivant des nombres : ABB, BA0, 899, 125, AB0. écrire la somme de ces cinq nombres, en base douze.

indication

solution

ex.6

On écrit la suite des nombres naturels de 0 à 99999. Combien y a-t-il de nombres ..

• en tout ?

• terminés à droite par 8 ?

• terminés à droite par 421 ?

• commençant à gauche par 3 ?

• commençant à gauche par 54 ?

• dans lequel le chiffre des milliers est 9 ?

• divisibles par 9 ?

solution

ex.7

Donner cinq écritures différentes du nombre 25. En quelle base, 25 s'écrit-il 41 ?

solution

ex.8

Mis à part le numéro du département, les voitures françaises ont été immatriculées dans l'ordre : 1A, 2A,..9999A, 1B, 2B,…,9999Z, 1AA, 2AA,…9999AA, 1AB,…9999ZZ.

Les lettres O, I et W ne sont jamais utilisées.

Combien de véhicules ont été immatriculés avant le véhicule 712A ?

Combien de véhicules ont été immatriculés avant le 1091KB ?

indication

solution

  ex.9 Lille 87  

Observer les sommes : 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7.

a) écrire les deux sommes suivantes.

b) calculer les cinq sommes, que remarquez vous ?

c) trouver un moyen rapide pour calculer : 1+3+5+…+99

d) comment trouver la racine carrée de 36 en n'utilisant que la soustraction ?

indication

solution

 

ex.10 Caen 88

Calculer les deux derniers chiffres de 7², 7³, 7⁴, 7⁵, 7⁶ et de 7⁷.

Trouver les deux derniers chiffres des nombres 7¹⁰, 7⁴⁸ , 7¹⁰³ et 7¹⁹⁹⁸.

(aucune démonstration n'est exigée, indiquer simplement votre méthode)

indication

solution

ex.11 

Combien y a-t-il d'entiers naturels de quatre chiffres dans le système de numération de base 7 ?

Soit N un entier naturel strictement supérieur à 1. Combien y a-t-il d'entiers naturels de quatre chiffres dans le système de numération de base N ?

solution

ex.12 Montpellier 94

Existe-t-il une base N dans laquelle on a l'égalité : 113 _N = 21 _N + 32 _N ?

Existe-t-il une base P dans laquelle on a l'égalité : 26_P + 12_P = 43_P ?

indication

solution

ex.13 

Un nombre à trois chiffres est vingt six fois plus grand que le nombre à deux chiffres formé en enlevant le chiffre des centaines. Trouvez ce nombre.

Combien ce problème a-t-il de solutions ?

indication

solution

ex.14 

Calculer la somme des entiers inférieurs à 1000.
Calculer la somme des entiers pairs inférieurs à 1000.
Calculer la somme des entiers impairs inférieurs à 1000.

indication

solution

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