Géométrie dans l'espace

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Exercice 1

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que :

1.      Représenter le solide en perspective cavalière : on placera la face ABCD en plan frontal, on utilisera un coefficient de réduction de 0,5 sur des fuyantes à 45°.

2.      Calculer la longueur de la diagonale [AG].

3.      Soit M le point de [EF] tel que MF = 2 cm. Une fourmi désire se rendre de M en C par le chemin le plus court en restant à la surface du parallélépipède. Quelle est la longueur de ce chemin ?

 

Solution

Exercice 2

Soit ABCDEFGH un cube de 6 cm de côté.

Représenter le cube en perspective cavalière, la face ABCD étant « sur le sol » et la face ABFE étant située dans le plan frontal.

Soient I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T les milieux respectifs des arêtes [AB], [BC], [CD], [DA], [EF], [FG], [GH], [HE], [BF], [GC], [HD] et [EA].

On réalise un solide S en retirant au cube les tétraèdres BQIJ, GONR, PMTE et LKSD.

Réaliser un patron du solide S et construire le solide en taille réelle.

Quel est le volume de S ?

 

Solution

 

Exercice 3

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 5 cm. Soit S le point de l’arête [EF] situé à 2 cm de F.

Construire en vraie grandeur un patron de la pyramide à base carrée SABCD.

 

Solution

 

Exercice 4

ABCD est un tétraèdre régulier d’arête 6 cm. On enlève à ce solide, aux quatre sommets A, B, C, D quatre tétraèdres T1, T2, T3, T4 identiques : T1 est le tétraèdre de sommets A, E, F, G où E est sur [AB], F sur [AC], G sur [AD] et AE = AF =  AG = 2 cm. T2, T3 et T4 sont définis de lanière analogue.

1.      Décrire le solide obtenu en justifiant les réponses.

2.      Construire un modèle de chaque face en respectant les dimensions et en décrivant vos constructions.

3.      Tracer un patron du solide en respectant les dimensions.

 

Solution

 

Exercice 5

 

Soit ABCD un carré de côté 4 cm. Où les points E et F doivent-ils être placés respectivement sur [BC] et sur [CD] pour que la figure ci-contre soit un patron de pyramide ?

1.      Quelle est alors la nature de chacune des faces de cette pyramide ?

Soit K le sommet du solide où se rejoignent les points B, C et D du patron. On obtient la pyramide (le tétraèdre) AEFK.

2.      Montrer que l’on peut faire coïncider AEFK avec le coin d’un cube de 4 cm de côté. Représenter ce cube en perspective et y tracer une représentation de la pyramide.

3.      Calculer le volume de AEFK.

4.      Calculer l’aire du triangle AEF.

5.      Soit K' le projeté orthogonal de K sur le plan (AEF). Calculer KH.

 

 


Solution