Nombres naturels

Un estivant veut louer un bateau. Dans une agence, on lui propose les deux options suivantes :

Option 1 : 20€ de frais fixes puis 2 € par heure de navigation pour chacune des 6 premières heures et 1€ par heure pour les heures suivantes.

Déterminer, suivant le nombre d'heures de location, l'option la plus économique.

ex.2

Trois associés, Georges, Pierre et Léon ont apporté 1500 €, 2160 € et 2340 € pour créer une entreprise.

Cette année l'entreprise a réalisé un bénéfice de 9000 €, calculer la part de bénéfice qui revient à chaque actionnaire, proportionnellement aux parts.

Monsieur Dupré veut acheter un terrain triangulaire T ayant pour dimensions 120 m, 96 m et 72 m.

1. Quelles sont, en mm, les mesures des côtés du triangle t représentant ce terrain sur un plan à l'échelle 1/2400 ?

3. Ce terrain était proposé à 111 F le mètre carré ; Monsieur Dupré l'obtient pour 345600 F. Quel pourcentage de réduction a-t-il obtenu sur le prix initial ?

4. Sur les bords du terrain, Monsieur Dupré veut planter des piquets régulièrement espacés, en respectant la double contrainte suivante : il doit il y avoir un piquet à chaque sommet du triangle et l'écart entre les piquets doit être un nombre entier de mètres. Quel est le nombre minimal de piquets nécessaires ? le nombre maximal ?

Deux robinets A et B débitent respectivement 300 litres et 400 litres à l'heure. L'eau qu'ils déversent est destinée à remplir une cuve cylindrique. On ouvre d'abord le premier robinet A à midi. On ouvre le robinet B à treize heures trente.

On note A(t) et B(t) les quantités d'eau déjà déversées respectivement par les robinets A et B t heures après midi.

1. Représenter les variations des fonctions A(t) et B(t) sur un même graphique. (On prendra 1 cm par heure en abscisses, 5 mm pour 200 litres en ordonnées.)

2. Utiliser le graphique pour trouver l'heure à laquelle les deux robinets auront déversé autant d'eau. Retrouver ce résultat par une solution algébrique.

3. Soit C(t) la quantité d'eau dans la cuve t heures après midi. Représenter les variations de C(t) sur le même graphique.

5. Exprimer en pourcentages les quantités provenant de chaque robinet dans la cuve remplie.

Un bloc parallélépipédique a pour dimensions : longueur 16 cm, largeur 10 cm, hauteur 5 cm.

1. Combien pèse un bloc dont chaque dimension est le quart des dimensions du bloc précédent ?

2. Que représente, en pourcentage, la surface latérale du nouveau bloc par rapport à celle du précédent ? (la surface latérale est la surface totale de l'ensemble des faces)

Pour réussir un bon diabolo-menthe, un cafetier utilise cinq volumes de limonade pour un volume de sirop de menthe.

Combien de verres de 30 cl peut-il confectionner avec une bouteille de sirop d'un litre ?

Un chef d'entreprise doit partager une prime de 9000 F entre trois employés, A, B et C, proportionnellement à leur ancienneté, respectivement 3, 4 et 8 ans.

1. Deux véhicules se rendent d'une ville A à une ville B distantes de 120 km. Un camion qui effectue le trajet à la vitesse constante de 60 km/h et une voiture qui part de A cinq minutes après le camion. Dans tout l'exercice on prendra pour origine des temps l'heure de départ du camion. Les distances seront exprimées en km et les temps en minutes.

2. La voiture roule à vitesse constante et rattrape le camion à trente kilomètres de A.

3. La voiture suit le camion pendant 10 minutes, le dépasse, puis poursuit sa route à la vitesse de 80 km/h. Combien de temps avant le camion arriverait-t-elle en B si elle n'effectuait aucun arrêt ? (On donnera une solution graphique et une solution algébrique.)

4. En fait, vingt kilomètres après avoir doublé le camion, la voiture s'arrête quelques instants puis repart à nouveau à hauteur du camion.

solution

ex.10

Un catalogue de vente de laine propose la publicité suivante :

"Gagnez 15% par pelote si vous achetez 20 pelotes et plus."

1. Une cliente a besoin de 19 pelotes. Montrer qu'elle a intérêt à en commander 20. Quel est son bénéfice en pourcentage de la somme qu'elle aurait dépensée en achetant 19 pelotes ?

2. Trouver le nombre de pelotes à partir duquel il est plus avantageux de commander 20 pelotes.

solution

ex.11

Le graphique ci-dessous donne (d’une façon simplifiée) le montant de l’impôt pour une personne célibataire, sans enfant à charge, en fonction de son revenu imposable s’il n’excède pas 35 000 €. Les pointillés indiquent un changement de tranche.

Avec la précision permise par le graphique, donnez le montant de l’impôt si le revenu imposable est de 10 000 € puis de 15 000 €.

Sachant que le montant de mon impôt s’élevait à 3 500 €, quelle était mon revenu imposable ?

Suite à une prime, un célibataire a vu le montant de son impôt passer, d’une année à l’autre, de 3 000 € à 5 500 € : cette personne a-t-elle changé de tranche ? Quelle est la différence de revenu imposable que cette prime a engendré ?

solution

ex.12

Une vidéothèque propose les tarifs suivants pour la location d’un DVD :

jusqu’à 6 heures de location, 2 € ; jusqu’à 12 heures de location, 3 € ;

jusqu’à 24 heures de location, 4 € ; au-delà, 4 € plus 50 centimes de l’heure.

Représentez la courbe représentative de la fonction qui à la durée de location associe le prix à payer.

Si j’ai payé 7,5 € après avoir rendu le DVD, combien de temps l’avais-je en ma possession ?

solution

ex.13

Un rectangle a un périmètre constant égal à 40 cm. On note x sa longueur et h sa largeur, en cm. On se propose de trouver ses dimensions lorsqu’il a une aire maximale.

1. A l’aide du périmètre, déterminez sa dimension h en fonction de x.

2. Déduisez-en l’aire f(x) du rectangle en fonction de x.

3. A l’aide de la calculatrice (ou du tableur), trouvez la valeur de x qui rend l’aire maximale. Quelle est alors la forme du rectangle ?

solution

ex.14

On considère la fonction f, définie sur l’ensemble IN des entiers naturels, qui à tout nombre associe la somme de ses chiffres. Essayez de représenter cette fonction sur l’intervalle [0 ; 40].

solution

ex.15

On considère la fonction (affine) g(x) = -2x + 3 définie pour tout réel x.

1. Tracez la courbe représentative de la fonction g dans un repère et donnez l’équation de la courbe.

2. Donnez le sens de variation de la fonction g.

3. Déterminez, par simple lecture graphique, les images de -2 ; 5 et 9 par g.

4. Déterminez, par simple lecture graphique, les antécédents de -5 ; 4 et 0 par g.

5. Retrouvez ces valeurs par le calcul.

solution

ex.16

Soit h la fonction définie sur l’intervalle [-3 ; 3] par h(x) = -x² - x + 2.

1. Calculez les valeurs exactes des images de 1 et ¼ par h.

2. Déterminer les antécédents éventuels de 2 par h.

3. Montrez que h(x) = (x + 2)(1 – x) et déterminez les antécédents de 0 par h.

4 Tracez la courbe représentative de la fonction h à l’aide d’un tableau de valeurs avec un pas de 0,5
sur l’intervalle [-3 ; 3].

solution

ex.17

La représentation graphique d’une fonction f est une droite passant par les points A(1 ; 2) et B(8 ; 23). Donnez l’expression de cette fonction et justifiez s’il s’agit d’une fonction linéaire ou non.

solution

ex.18

Sur le graphique ci-dessous sont représentées deux fonctions, f et g, de courbes respectives Cf et Cg. L’une d’elle illustre une situation de proportionnalité : laquelle et pourquoi ?

Donnez le coefficient de proportionnalité de ladite fonction en expliquant la démarche.

Partant de l’expression de la fonction qui traduit une situation de proportionnalité, comment pouvait-on être sûr qu’elle serait croissante ?

solution

ex.19

On veut représenter la fonction affine f(x) = 5x – 3 sur l’intervalle [-5 ; 8] à l’aide d’un tableur.

On commence par construire un tableau de valeurs de f pour x variant de -5 à 8 par pas de 0,5.

Entrez les valeurs ou formules ci-contre dans les cellules respectives ; recopiez la formule de la colonne A vers le bas jusqu’à obtenir 8. Recopier celle de la colonne B jusqu’en B27.

Sélectionnez la plage de données A1 à B27.

Dans l’assistant graphique, choisissez dans le type Nuage de points le sous-type avec lissage sans marquage des données.

Sous l’onglet « Quadrillage », sélectionnez quadrillage principal et secondaire sur les deux axes.

Placez le graphique sur une nouvelle feuille.

Double cliquez successivement sur la courbe et les deux axes de coordonnées afin d’en changer l’épaisseur et éventuellement la graduation sur les axes.

Par simple lecture graphique ou à l’aide du tableau de valeurs, donnez le sens de variation de la fonction f sur [-5 ; 8], les images de -1 et 5 par f et les antécédents de -16 et 27 par f.

Cette fonction traduit-elle une situation de proportionnalité ? Expliquez à l’aide du graphique puis à l’aide du tableau.

Supplément

En procédant de façon analogue à celle de l’exercice précédent, tracez la courbe représentative de la fonction

g(x) = 2(x – 3)(x + 1) sur l’intervalle [-5 ; 9].

Donnez les variations de g.

Résolvez les équations g(x) = 52,5 ; g(x) = 24 et g(x) = 104,5 : on commencera par s’assurer graphiquement du nombre de solutions de chaque équation avant de rechercher celles-ci dans le tableau de valeur de g.

solution

ex.20

Trois voyageurs partent d’une même ville dans la même direction.

Un piéton part à 9h à la vitesse de 5 km/h, un cycliste à 9h30 à la vitesse de 20 km/h et un motard à 10h à la vitesse de 60 km/h. On note t le temps écoulé en heures depuis 9h.

1.       Exprimer en fonction de t, la distance parcourue :
a.      p(t) par le piéton ;
b.      c(t) par le cycliste lorsque t ³ 0,5 ;
c.      m(t) par le motard lorsque t ³ 1.

2. Tracer dans un même repère les représentations graphiques des fonctions p, c et m.

3.       Déterminer t lorsque :
a.       le cycliste dépasse le piéton ;
b.       le motard dépasse le piéton ;
c.       le motard dépasse le cycliste.

4. A l’aide de la représentation graphique, déterminer le nombre de kilomètres pendant lesquels le motard sera entre le piéton et le cycliste.

solution

ex.21

1. Un commerçant décide d’augmenter ses prix de 25% et accorde ensuite une réduction de 25% à ses clients. Est-il gagnant dans l’affaire ?

2. Un article est vendu 400€ TTC. Quel est le prix HT de cet article (le taux de TVA est 19,6%).

3. Un compte d’épargne est rémunéré à un taux annuel de 4% pendant 6 ans. L’épargne disponible au bout de ces 6 ans représente-t-il 24% de plus que celui de départ ?

solution

ex.22

On étudie l’allongement d’un ressort à spires non jointives en fonction de la masse de l’objet suspendu. Lorsque le ressort est à vide, son extrémité est en face de la graduation 0.

Masse m en g	10	16	18	21	26
Allongement l en cm	2,5	4	4,5	5,25	6,5

1. Ce tableau de mesures est-il un tableau de proportionnalité ? Exprimer l’allongement l du ressort en fonction de la masse m. Tracer la courbe représentant l’allongement l en fonction de m.

2. Le ressort à vide mesure 4 cm. Donner la longueur d totale du ressort en fonction de la masse m. Dans le même repère que précédemment, tracer la courbe représentant la longueur du ressort en fonction de m.

solution

Fonctions - Proportionnalité

ex.1

ex.2