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Les triangles ABC’ et AB’C sont équilatéraux. ABC est isocèle rectangle en A et I est milieu de [BC] ; la symétrie d’axe (AI), notée S, transforme alors B en C et laisse A et I invariants ((AI) est la médiatrice du segment [BC]). C’ est l’intersection du cercle (C1), de centre B et de rayon AB, et du cercle (C2), centre A et de rayon AB. B’ est l’intersection du cercle (C2) et du cercle (C3), de centre C et de rayon AB. L’image de C’, notée M, est l’intersection des images de (C1) et (C2) par S ; comme A est invariant par S (qui est une isométrie), l’image du cercle (C2) est (C2) ; l’image du cercle (C1) est le cercle de même rayon et de centre S(B) = C, c'est-à-dire le cercle (C3). Ainsi l’image de C’ par S est l’intersection de (C2) et (C3), autrement dit B’. Comme la symétrie S transforme C en B, B’ en C’, la droite (CC’) a pour image (BB’). Les points C et C’ sont de part et d’autre de l’axe (AI). Notons M l’intersection de (CC’) avec (AI) ; M est invariant par S, l’image (BB’) de (CC’) passera nécessairement par M. Donc les droites (CC’) et (BB’) ont un point commun M. Or par hypothèse, ces droites sont sécantes en K ; donc K et M sont confondus, c’est-à-dire que le point K appartient à l’axe de réflexion (AI). L’image de la droite (BC’) est la droite (B’C), et on montre de façon analogue que le point L appartient à l’axe de réflexion (AI). Les points K et L appartiennent à la droite (AI), ce qui signifie que les points A, K, I et L sont alignés. |
