Exercice 19

Soit S le point d’intersection des droites (AD) et (BC). Notons x = SA et y = SB. On cherche à montrer que x = y.

Comme le trapèze est isocèle, on a AD = BC = a. De plus les droites (AB) et (CD) sont parallèles. La propriété de Thalès appliquée au triangle SCD donne :

 ce qui revient à écrire . Le triangle SCD est donc isocèle de sommet principal S. L’axe de symétrie est la médiatrice de [DC], et donc celle de [AB].

 Notons I l’intersection des diagonales du trapèze. On montre facilement que les triangles ABC et ABD sont isométriques : il existe donc une isométrie permettant de passer d’un triangle à l’autre, et plus précisément transformant A en B et C en D, laissant I invariant. Il ne peut s’agir d’une rotation (car les triangles ne sont pas superposables), ni d’un symétrie centrale de centre I (car les points A, I et B ne sont pas alignés), ni d’une translation (car il y a un point invariant) : il ne reste plus que la symétrie axiale, passant par I et donc perpendiculaire à [AB]. L’axe de symétrie du trapèze isocèle ABCD est donc la droite passant par les points S et I.