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Notons S la symétrie d’axe (d), I et J les intersections de (d) avec le cercle (C). Les points I et J sont invariants par S puisque sur la droite de réflexion. Soit M le centre du cercle (C) et M’ son image par S : M’ = S(M). M appartient à la médiatrice du segment [IJ] ; M’ y appartient alors également.
Soit K un point du cercle (C), autre que I et J. Les points I, J et K forment un triangle dont le cercle circonscrit est (C) : le centre M du cercle appartient donc également à la médiatrice du segment [IK]. Finalement, M est l’intersection des médiatrices de [IJ] et [IK]. Si on note N le milieu du segment [IJ], alors M’ est le symétrique de M par rapport à N. Le cercle image de (C) par S est le cercle de centre M’ passant par I et J.
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