1.       Notons n le premier entier : n + 1 est le deuxième entier, n + 2 est le troisième. Ils vérifient 3n + 3 = 2 001 et n = 666. Les entiers consécutifs sont alors 666, 667 et 668. 

2.       Soit c la longueur en cm du côté du carré initial. L’aire du carré initial est c² ; si la longueur du côté diminue de 2 cm, elle est alors de (c – 2) cm, l’aire associée étant de (c – 2)² cm². On obtient l’équation (c – 2)² = c² - 52. En développant correctement l’identité remarquable dans le membre de gauche et en réduisant l’expression, on aboutit à la solution : le côté du carré mesurait initialement 14 cm.

 3.       Notons x la longueur en mètres du jardin carré le plus grand : le côté du jardin carré le plus petit mesure alors x – 4 m et les aires donnent la relation : x² = (x – 4)² + 136.

Le jardin le plus grand a un côté de longueur 19 m, l’autre jardin a un côté de longueur 15 m.

4.       Soit N le nombre de touristes initialement inscrits. Initialement la dépense totale aurait dû être de 11´N ; elle reste la même après les désistements, mais doit être égale à (N – 4)´13. L’équation d’inconnue N est alors11´N = 13´(N – 4). La solution de l’équation est N = 26 : 26 touristes étaient prévus initialement.

5.       Deux façons (au moins) de procéder :

Première méthode :             équation et relation d = v´t

Notons x la distance séparant les voitures de la ville M lorsque celles-ci se croisent. La voiture partant de M aura donc parcouru x kilomètres à la vitesse de 90 km/h et la voiture partant de C en aura parcouru (110 – x), à la vitesse de 75 km/h. Puisque parties en même temps des deux villes, leurs déplacements auront nécessité la même durée t, qui dans le cas de la première voiture est égale à  heures et dans le cas de la seconde voiture est égale à .

On obtient donc l’équation = qui fournit la solution x = 60.

Les voitures se croisent donc à 60 km de M.

Un calcul rapide permet d’affirmer qu’elles se croiseront au bout de 40 minutes.

Deuxième méthode :           proportionnalité et jugeote

La voiture partant de la ville M roule à 90 km/h et celle partant de C roule à 75 km/h ; on peut alors affirmer raisonnablement que la voiture partie de M parcourra une plus grande distance que sont homologue partie de C, autrement dit que la distance séparant M du point de croisement est supérieure à 55 km. De plus, la voiture partie de M roule 6/5 fois plus vite que celle partie de C. On peut alors éventuellement construire un tableau, mi proportionnalité, mi vérité pour obtenir par tâtonnement la distance cherchée.

En notant m resp. c la voiture partie de M resp. C on obtient :

On conclut comme précédemment !