Exercice 9

a)36=2²x3², donc 36 a 9 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

b) Les quatre produits valent 36.

c) 225⁴x15=15⁹=3⁹x5⁹

n possède 9 diviseurs qui sont tous du type 3^p5^q. Donc n s'écrit lui même sous cette forme.

On a donc n=3^p5^q avec (p+1)(q+1)=9. Donc (n,p) SYMBOL 206 \f "Symbol"\h {(0,8)(8,0)(2,2)}

Les valeurs possibles de n sont donc : 3⁸, 5⁸, 225. Seul 225 convient, car 3 et 5 doivent intervenir effectivement dans n.

On vérifie : les diviseurs de 225 sont 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75 et 225. Le produit vaut :

(1x225)(3x75)…(9x25)x15=15⁹