On peut démontrer de façon générale que, pour deux entiers naturels p et q non nuls, on a :

§         le produit pq est pair si et seulement si au moins l’un des deux facteurs est pair ;

§         le produit pq est impair si et seulement si les deux facteurs sont impairs.

Tout nombre pair N est de la forme N = 2´p, p Î IN.

Tout nombre impair M est de la forme M = 2´n + 1, n Î IN

On procède par différenciation de cas.

§         si p est pair et q impair (i.e. p =2´m et q = 2´n + 1),

alors p´q = 2´m ´ (2´n + 1) qui est de la forme 2´N, donc est pair.

§         si q est pair et p impair,

alors p´q est pair (démonstration analogue au premier cas)

§         si p est impair et q est impair (p = 2´m + 1 et q = 2´n + 1),

alors p´q = (2m + 1) ´ (2´n + 1) = 2´2´m´n + 2´m + 2´n + 1 = 2´(2mn + m + n) + 1 = 2´N + 1

                  ce qui signifie que le produit p´q est impair

§         si p et q sont pairs,

alors p´q = 2´m ´ 2´n = 2´(2´m´n) ; le produit p´q est ainsi pair.